2004 年考研数学（二） 第 16 题

函数方程 $f(x)=kf(x+2)$ 是一台「平移机」：要 $[-2,0)$ 上的表达式，就把 $x$ 平移到 $[0,2)$ 用已知式，再乘系数 $k$。第二问可导的判定不能对分段函数直接套求导公式，必须回到定义算左右导数。右侧来自 $x^3-4x$ 得 $-4$，左侧来自 $kx(x+2)(x+4)$ 得 $8k$，令 $8k=-4$ 定出 $k=-\frac{1}{2}$。连续性对任意 $k$ 自动成立，真正的约束只在导数匹配。

本题考查用函数方程平移求分段表达式，以及利用左右导数相等判定可导。

（I） 当 $x\in [-2,0)$ 时，$x+2\in [0,2)$，可用已知式 $f(x+2)=(x+2)[(x+2{)}^2-4]=(x+2)\cdot x(x+4)=x(x+2)(x+4)$。由 $f(x)=kf(x+2)$ 得
$$f(x)=kx(x+2)(x+4),x\in [-2,0).$$

于是在 $0$ 附近
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}kx(x+2)(x+4),& -2\le x<0,\\ x(x^2-4),& 0\le x\le 2.\end{array}$$

（II） 先看连续性：$f(0^{-})=k\cdot 0=0$，$f(0)=f(0^{+})=0$，故对任意 $k$ 都在 $x=0$ 连续。再算左右导数（用定义，$f(0)=0$）：
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x(x^2-4)-0}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x^2-4)=-4,$$
$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{kx(x+2)(x+4)-0}{x}=k\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x+2)(x+4)=8k.$$

$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导 $⟺f_{+}^{\prime }(0)=f_{-}^{\prime }(0)$，即 $-4=8k$，解得 $k=-\frac{1}{2}$。