2004 年考研数学（二） 第 17 题

周期函数求值域，先证周期再把范围缩到一个周期，这是标准两步。周期性用平移代换 $t\to t+\pi$ 加 $|\sin |$ 的 $\pi$ 周期性直接得到。值域则靠 $f^{\prime }(x)=|\cos x|-|\sin x|$（变限积分对上下限求导之差），零点 $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$ 把 $[0,\pi ]$ 分段。算 $f(\frac{3\pi }{4})$ 时注意积分区间跨过 $\pi$，$\sin t$ 变号，需拆成两段带绝对值处理，这是最易算错的地方。

本题考查变限积分的周期性证明与用变限积分求导找最值。

（I） 由定义
$$f(x+\pi )={\int }_{x+\pi }^{x+\frac{3\pi }{2}}|\sin t|dt\stackrel{t=u+\pi }{\to }{\int }_x^{x+\frac{\pi }{2}}|\sin (u+\pi )|du={\int }_x^{x+\frac{\pi }{2}}|\sin u|du=f(x),$$
这里用到 $|\sin (u+\pi )|=|-\sin u|=|\sin u|$。故 $f(x)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数。

（II） 由周期性，只需求 $f(x)$ 在一个周期 $[0,\pi ]$ 上的最大、最小值。由变限积分求导：
$$f^{\prime }(x)=\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right|-|\sin x|=|\cos x|-|\sin x|.$$
在 $[0,\pi ]$ 上令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $|\cos x|=|\sin x|$，即 $x=\frac{\pi }{4}$ 或 $x=\frac{3\pi }{4}$。

计算端点与驻点处的值：
$$f(0)={\int }_0^{\pi /2}\sin tdt=1,f(\pi )=f(0)=1,$$
$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)={\int }_{\pi /4}^{3\pi /4}\sin tdt=-\cos t{|}_{\pi /4}^{3\pi /4}=\sqrt{2},$$
$$f\left(\frac{3\pi }{4}\right)={\int }_{3\pi /4}^{\pi }\sin tdt+{\int }_{\pi }^{5\pi /4}(-\sin t)dt=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2-\sqrt{2}.$$

比较得最大值 $\sqrt{2}$（在 $x=\frac{\pi }{4}$），最小值 $2-\sqrt{2}$（在 $x=\frac{3\pi }{4}$）。故 $f(x)$ 的值域为 $[2-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。