2004 年考研数学（二） 第 18 题

这题的「题眼」是双曲余弦曲线的特殊性质 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=y$（因为 $y^{\prime }=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，$1+y^{\prime 2}$ 恰好补成 $y^2$）。有了它，侧面积 $S=2\pi \int yds$ 立刻退化成 $2\pi \int y^{2}dx=2V$，第一问不用真算就得 $S/V=2$。第二问 $F=\pi y^2$ 是纯代数量，$S$ 与 $F$ 的主项都是 $\frac{\pi }{4}{e}^{2t}$，比值极限为 $1$，多项式项 $4t$ 被指数压成高阶小量。

本题考查旋转体体积、旋转曲面侧面积（含弧微分）、底面积公式，以及 $\infty /\infty$ 型极限。 记 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$。

旋转体体积：
$$V(t)=\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^t{\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^{2}dx=\frac{\pi }{4}{\int }_0^t\left(e^{2x}+e^{-2x}+2\right)dx=\frac{\pi }{8}\left(e^{2t}-e^{-2t}+4t\right).$$

（I）侧面积： 弧微分
$$ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx=\sqrt{1+{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2}dx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=ydx.$$
故
$$S(t)=2\pi {\int }_0^{t}yds=2\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx=2V(t)=\frac{\pi }{4}\left(e^{2t}-e^{-2t}+4t\right).$$
因此 $\frac{S(t)}{V(t)}=2$。

（II）底面积（$x=t$ 处圆盘，半径 $y(t)$）：
$$F(t)=\pi y(t{)}^2=\pi {\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)}^2=\frac{\pi }{4}\left(e^{2t}+e^{-2t}+2\right).$$
于是
$$\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{S(t)}{F(t)}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{e^{2t}-e^{-2t}+4t}{e^{2t}+e^{-2t}+2}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{1-e^{-4t}+4t{e}^{-2t}}{1+e^{-4t}+2e^{-2t}}=1.$$