2004 年考研数学（二） 第 6 题

凡出现伴随矩阵 $A^{\ast }$，几乎都要靠 $A^{\ast }A=|A|E$ 把它「吸收」掉——这里右乘一个 $A$ 就把 $A^{\ast }A$ 变成 $3E$。整理成 $3(A-2E)B=A$ 后，对未知矩阵 $B$ 的行列式，直接两端取行列式即可，无需真的解出 $B$。注意 $3$ 是 $3$ 阶矩阵的公因子，取行列式时要三次方 $3^3=27$。

本题考查伴随矩阵的性质 $A^{\ast }A=|A|E$ 与行列式的乘积法则。 先算 $|A|$，再把含 $A^{\ast }$ 的方程右乘 $A$ 化简。

$|A|=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|\cdot 1=(4-1)\cdot 1=3$。在 $AB{A}^{\ast }=2B{A}^{\ast }+E$ 两端右乘 $A$，并用 $A^{\ast }A=|A|E=3E$：
$$3AB=6B+A\Rightarrow 3(A-2E)B=A.$$

两端取行列式：$3^3|A-2E||B|=|A|$。而
$$A-2E=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right),|A-2E|=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|\cdot (-1)=(-1)\cdot (-1)=1.$$

故 $27\cdot 1\cdot |B|=3$，即 $|B|=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$。