2004 年考研数学（二） 第 5 题

把 $dy,dx$ 型方程改写成 $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ 的标准形是第一反应。这里 $-2xdy$ 提示除以 $-2x$，得到线性方程。积分因子 $x^{-1/2}$ 让左边凑成 $(y{\sqrt{x}}^{-1}{)}^{\prime }$；积分后自然出现 $\sqrt{x}$ 项与 $\frac{x^3}{5}$ 项，初值 $\frac{6}{5}=\frac{1}{5}+1$ 正好让 $C=1$，可见命题者是「反向凑」出的漂亮初值。

本题考查一阶线性微分方程的求解。 先把方程化为标准形，再用常数变易（公式）求通解，最后代入初值。

由 $(y+x^3)dx-2xdy=0$ 得
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y+x^3}{2x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}-\frac{1}{2x}y=\frac{x^2}{2}.$$
这是一阶线性方程，$P(x)=-\frac{1}{2x}$，$Q(x)=\frac{x^2}{2}$。

由通解公式（$x>0$）：
$$y=\left(\int \frac{x^2}{2}{e}^{\int -\frac{1}{2x}dx}dx+C\right)e^{-\int -\frac{1}{2x}dx}=\left(\int \frac{x^2}{2}\cdot x^{-1/2}dx+C\right)x^{1/2}=\left(\frac{x^{5/2}}{5}+C\right)\sqrt{x}=\frac{x^3}{5}+C\sqrt{x}.$$

代入初值 $y(1)=\frac{6}{5}$：$\frac{1}{5}+C=\frac{6}{5}$，得 $C=1$。故特解为
$$y=\frac{x^3}{5}+\sqrt{x}.$$