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2004 年考研数学（二）第 4 题

填空题 · 4 分

设函数

z = z (x, y)

由方程

z = e^{2 x - 3 z} + 2 y

确定，则

3 \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} =

___。

提示 1

把

z

看作

x, y

的隐函数，对确定式两端分别关于

x

、

y

求偏导。

提示 2

求导时注意

e^{2 x - 3 z}

对

x

求导得

e^{2 x - 3 z} (2 - 3 \frac{\partial z}{\partial x})

，对

y

求导得

e^{2 x - 3 z} (- 3 \frac{\partial z}{\partial y})

。

提示 3

解出

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}

后代入

3 \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}

，分子恰好凑成分母的

2

倍。

答案与详解

答案 $2$

思路（为什么这么做）

隐函数求偏导，直接对确定式两端逐变量求偏导最稳。本题的巧处在于问的是组合

3 z_{x} + z_{y}

：把两式代入后分子

6 e^{2 x - 3 z} + 2 = 2 (1 + 3 e^{2 x - 3 z})

恰好是公共分母的两倍，约掉指数项得常数

2

。系数

3

、

2

正是为了配平指数项而设，属于「答案与自变量无关」的巧合型填空。

解答

本题考查由方程确定的多元隐函数的偏导数。 对方程两端分别关于

x

、

y

求偏导即可。

记

u = e^{2 x - 3 z}

。对

z = e^{2 x - 3 z} + 2 y

两端关于

x

求偏导：

\frac{\partial z}{\partial x} = e^{2 x - 3 z} (2 - 3 \frac{\partial z}{\partial x}) \Rightarrow (1 + 3 u) \frac{\partial z}{\partial x} = 2 u \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2 e ^{2 x - 3 z}}{1 + 3 e ^{2 x - 3 z}} .

两端关于

y

求偏导：

\frac{\partial z}{\partial y} = e^{2 x - 3 z} (- 3 \frac{\partial z}{\partial y}) + 2 \Rightarrow (1 + 3 u) \frac{\partial z}{\partial y} = 2 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2}{1 + 3 e ^{2 x - 3 z}} .

于是

3 \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{6 e ^{2 x - 3 z} + 2}{1 + 3 e ^{2 x - 3 z}} = \frac{2 ( 1 + 3 e ^{2 x - 3 z} )}{1 + 3 e ^{2 x - 3 z}} = 2.

考点：多元隐函数求导、偏导数

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