2004 年考研数学（二） 第 3 题

看到 $\sqrt{x^2-1}$ 且积分限从 $1$ 到 $+\infty$，两条路都很自然：三角代换 $x=\sec t$ 会把整个被积函数「奇迹般」约成 $dt$，得 $\frac{\pi }{2}$；或者提出 $\frac{1}{x^2}$ 凑成 $-d(1/x)/\sqrt{1-(1/x{)}^2}=-d(\arcsin \frac{1}{x})$。两种方法都利用了 $\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ 正是 $\mathrm{arcsec}$ 或 $\arcsin \frac{1}{x}$ 的导数结构。

本题考查反常（无穷限）积分的计算。 该积分在下限 $x=1$ 处还是瑕积分，用三角代换或凑微分均可。

方法一（三角代换）： 令 $x=\sec t$，$dx=\sec t\tan tdt$，$\sqrt{x^2-1}=\tan t$。当 $x:1\to +\infty$ 时 $t:0\to \frac{\pi }{2}$，故
$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sec t\tan t}{\sec t\cdot \tan t}dt={\int }_0^{\pi /2}dt=\frac{\pi }{2}.$$

方法二（凑 $\arcsin$）： 分子分母同乘 $\frac{1}{x}$，
$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2\sqrt{1-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}=-{\int }_1^{+\infty }\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}}=-\arcsin \frac{1}{x}{|}_1^{+\infty }=-\left(0-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}.$$