2004 年考研数学（二） 第 2 题

参数方程判凹凸，先算 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 的符号。二阶导公式的分母 $x^{\prime }(t)=3(t^2+1)>0$ 恒正，符号完全由分子 $4t$ 决定，故 $t<0$ 时凸。最后一步的陷阱是「不要直接把答案写成 $t<0$」——题目问的是 $x$ 的范围，必须借助 $x(t)$ 的单调性把 $t<0$ 换算成 $x<1$。

本题考查参数方程求二阶导数与曲线的凹凸性。 曲线「向上凸」（凸的）对应 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}<0$。

一阶导数：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^2-3}{3t^2+3}=\frac{t^2-1}{t^2+1}.$$

二阶导数：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{t^2-1}{t^2+1}\right)}{dx/dt}=\frac{\frac{4t}{(t^2+1{)}^2}}{3(t^2+1)}=\frac{4t}{3(t^2+1{)}^3}.$$
令 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}<0$，得 $t<0$。

又 $x^{\prime }(t)=3t^2+3>0$，故 $x=t^3+3t+1$ 关于 $t$ 单调增加。当 $t<0$ 时，$x<x{|}_{t=0}=1$，且 $t\to -\infty$ 时 $x\to -\infty$，因此对应的 $x$ 范围为 $(-\infty ,1)$。即曲线向上凸的 $x$ 取值范围为 $(-\infty ,1)$。