2004 年考研数学（二） 第 1 题

遇到「用极限定义的函数求间断点」，标准套路是先算出分段表达式，再逐段检查连续性。关键信号在 $x=0$：分母 $n{x}^2+1$ 在 $x=0$ 处不含 $n$，使 $f(0)=0$；而 $x\ne 0$ 时 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在原点附近趋于无穷，于是分段点 $x=0$ 处极限不存在，成为唯一间断点。

本题考查由极限定义的函数的间断点。 先求出 $f(x)$ 的分段表达式，再讨论分段点处的连续性。

当 $x=0$ 时，$f(0)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{0}{1}=0$；当 $x\ne 0$ 时，分子分母同除以 $n$：
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)x}{x^2+\frac{1}{n}}=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}.$$
于是
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=0,\\ \frac{1}{x},& x\ne 0.\end{array}$$

由于 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$，即 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ 不存在，所以 $x=0$ 是 $f(x)$ 的间断点（无穷型第二类间断点）。当 $x\ne 0$ 时 $f(x)=\frac{1}{x}$ 处处连续，无其他间断点。故间断点为 $x=0$。