2004 年考研数学（二） 第 22 题

系数矩阵是 $A=aI+u{v}^T$（$u=(1,2,3,4{)}^T,v=(1,1,1,1{)}^T$）的秩一扰动结构，行列式 $\det (aI+u{v}^T)=a^3(a+v^{T}u)=a^3(a+10)$，两个零点 $a=0,-10$ 自然浮现。两种情形几何意义不同：$a=-10$ 时 $A$ 把 $u$ 打到零，解空间就是 $\mathrm{span}\{u\}=\mathrm{span}\{(1,2,3,4{)}^T\}$；$a=0$ 时 $A=u{v}^T$ 退化为一个方程 $v^{T}x=0$，解空间是它的三维正交补。抓住「秩一扰动」这条线，行列式与解空间都一目了然。

本题考查齐次线性方程组有非零解的条件（系数行列式为零）及通解求法。 系数矩阵 $A$ 的第 $i$ 行为 $i\cdot (1,1,1,1)$ 再在对角线加 $a$。

求 $a$： 计算系数行列式。把第 $2,3,4$ 列都加到第 $1$ 列，第 $1$ 列变为 $(a+10,a+10,a+10,a+10{)}^T$（因 $1+2+3+4=10$），提出公因子 $a+10$，再化简得
$$|A|=(a+10)a^3.$$
齐次方程组有非零解 $⟺|A|=0$，故 $a=-10$ 或 $a=0$。

当 $a=-10$： 此时 $\mathrm{rank}(A)=3$，基础解系含 $1$ 个向量。对 $A$ 作初等行变换可解得解向量与 $(1,2,3,4{)}^T$ 成比例，故通解为
$$X=C(1,2,3,4{)}^T(C\text{为任意常数}).$$

当 $a=0$： 方程组四个方程都等价于 $x_1+x_2+x_3+x_4=0$，$\mathrm{rank}(A)=1$，基础解系含 $4-1=3$ 个向量。取自由未知量 $x_2,x_3,x_4$，得基础解系 $(-1,1,0,0{)}^T,(-1,0,1,0{)}^T,(-1,0,0,1{)}^T$，通解为
$$X=C_1(-1,1,0,0{)}^T+C_2(-1,0,1,0{)}^T+C_3(-1,0,0,1{)}^T(C_1,C_2,C_3\text{为任意常数}).$$