乐思数学通 › 考研数学（二） › 真题检索 › 2004 年

2004 年考研数学（二）第 21 题

解答题 · 10 分

设

z = f (x^{2} - y^{2}, e^{x y})

，其中

f

具有连续二阶偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

提示 1

记

u = x^{2} - y^{2}, v = e^{x y}

，先写出四个内导数

u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}

。

提示 2

一阶：

z_{x} = f_{1}^{'} u_{x} + f_{2}^{'} v_{x}

，

z_{y} = f_{1}^{'} u_{y} + f_{2}^{'} v_{y}

。

提示 3

求

z_{x y}

时，

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

本身仍是

u, v

的函数，对

y

求导须再用一次链式法则；同时

y e^{x y}

用乘积法则。

答案与详解

答案 $\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x f_{1}^{'} + y e^{x y} f_{2}^{'}$ ； $\frac{\partial z}{\partial y} = - 2 y f_{1}^{'} + x e^{x y} f_{2}^{'}$ ； $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = - 4 x y f_{11}^{''} + 2 (x^{2} - y^{2}) e^{x y} f_{12}^{''} + x y e^{2 x y} f_{22}^{''} + (1 + x y) e^{x y} f_{2}^{'}$

思路（为什么这么做）

抽象复合函数二阶导的通病是「忘了

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

还要再复合求导」。对

z_{x} = 2 x f_{1}^{'} + y e^{x y} f_{2}^{'}

关于

y

求导时，

2 x

是常数但

f_{1}^{'}

不是——它对

y

的导数是

f_{11}^{''} u_{y} + f_{12}^{''} v_{y}

；

y e^{x y}

要用乘积法则得

(1 + x y) e^{x y}

。把「外层显式因子的导数」与「内层

f_{i}^{'}

的链式导数」两部分都写全，再用

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

合并同类项，

2 x^{2} f_{12}^{''} - 2 y^{2} f_{12}^{''}

恰好合成

2 (x^{2} - y^{2}) f_{12}^{''}

。

解答

本题考查多元复合函数（抽象函数）的一阶、二阶偏导数，重点是二阶导中「 $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 仍是复合函数」需再次用链式法则。 记

u = x^{2} - y^{2}, v = e^{x y}

，

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial u}, f_{2}^{'} = \frac{\partial f}{\partial v}

。

一阶偏导： 由

u_{x} = 2 x, v_{x} = y e^{x y}

，

u_{y} = - 2 y, v_{y} = x e^{x y}

，

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x f_{1}^{'} + y e^{x y} f_{2}^{'}, \frac{\partial z}{\partial y} = - 2 y f_{1}^{'} + x e^{x y} f_{2}^{'} .

二阶混合偏导

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2 x f_{1}^{'} + y e^{x y} f_{2}^{'})

。逐项求导（注意

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

对

y

求导要再用链式法则：

\frac{\partial f _{1}^{'}}{\partial y} = - 2 y f_{11}^{''} + x e^{x y} f_{12}^{''}

，

\frac{\partial f _{2}^{'}}{\partial y} = - 2 y f_{21}^{''} + x e^{x y} f_{22}^{''}

）：

\frac{\partial}{\partial y} (2 x f_{1}^{'}) = 2 x (- 2 y f_{11}^{''} + x e^{x y} f_{12}^{''}) = - 4 x y f_{11}^{''} + 2 x^{2} e^{x y} f_{12}^{''},

\frac{\partial}{\partial y} (y e^{x y} f_{2}^{'}) = (1 + x y) e^{x y} f_{2}^{'} + y e^{x y} (- 2 y f_{21}^{''} + x e^{x y} f_{22}^{''}) .

合并（

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

连续）：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = - 4 x y f_{11}^{''} + 2 (x^{2} - y^{2}) e^{x y} f_{12}^{''} + x y e^{2 x y} f_{22}^{''} + (1 + x y) e^{x y} f_{2}^{'} .

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

← 2004 年全部题目

2004 年考研数学（二） 第 21 题

2004 年考研数学（二）第 21 题