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2004 年考研数学（二）第 20 题

解答题 · 11 分

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为

9000 kg

的飞机，着陆时的水平速度为

700 km/h

。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为

k = 6.0 \times 1 0^{6}

）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

（注：

kg

表示千克，

km/h

表示千米/小时。）

提示 1

由牛顿第二定律建立方程

m \frac{d v}{d t} = - k v

，初值

v (0) = 700

。

提示 2

要「距离」而非「时间」，用

\frac{d v}{d t} = v \frac{d v}{d x}

把方程改写成

m d v = - k d x

。

提示 3

积分得

m v = - k x + 700 m

，令

v = 0

求

x_{m a x} = \frac{700 m}{k}

，代入

m = 9000, k = 6 \times 1 0^{6}

。

答案与详解

答案 $1.05 km$ （即 $1050$ 米）

思路（为什么这么做）

物理应用题先列牛顿方程

m \frac{d v}{d t} = - k v

。本题问「距离」而不问「时间」，聪明的一步是把

\frac{d v}{d t}

换成

v \frac{d v}{d x}

，直接得到

v

与

x

的关系

m v = - k x + C

，令

v = 0

一步到位得

x_{m a x} = \frac{700 m}{k}

，无需解出

v (t)

再积分。两种方法殊途同归，都得

\frac{700 \times 9000}{6 \times 1 0 ^{6}} = 1.05

km。注意速度单位是 km/h，答案自然以 km 计。

解答

本题考查用牛顿第二定律建立微分方程并求解（可用「速度对位移」换元避免求出 $t$ ）。 设着陆时

t = 0

，位移

x

，速度

v (t)

。阻力与速度成正比且方向与运动相反，由牛顿第二定律

F = ma

：

m \frac{d v}{d t} = - k v, v (0) = 700, x (0) = 0.

方法一（对位移积分，直接得最长距离）。 利用

\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x}

：

m v \frac{d v}{d x} = - k v \Rightarrow m d v = - k d x \Rightarrow m v = - k x + C .

由

x = 0

时

v = 700

得

C = 700 m

，故

x = \frac{m}{k} (700 - v)

。飞机停止时

v = 0

，最长滑行距离

x_{m a x} = \frac{700 m}{k} = \frac{700 \times 9000}{6.0 \times 1 0 ^{6}} = 1.05 (km) .

方法二（先解出 $v (t)$ 再积分）。 由

m \frac{d v}{d t} = - k v

解得

v (t) = 700 e^{- \frac{k}{m} t}

。滑行总距离

S = \int_{0}^{+ \infty} v (t) d t = 700 \int_{0}^{+ \infty} e^{- \frac{k}{m} t} d t = \frac{700 m}{k} = \frac{700 \times 9000}{6.0 \times 1 0 ^{6}} = 1.05 (km) .

所以飞机从着陆到停止最长可以滑行

1.05

千米。

考点：微分方程的几何与物理应用、一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

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