2004 年考研数学（二） 第 23 题

「特征方程有二重根」是个开放条件，必须分两类讨论：要么已知根 $\lambda =2$ 升为二重（代 $\lambda =2$ 进二次因式解 $a$），要么二次因式本身出重根（判别式 $=0$ 解 $a$）。两个 $a$ 值都要各自验算可对角化——判据统一为「二重特征值 ${\lambda }_0$ 的几何重数 $=3-\mathrm{rank}({\lambda }_{0}E-A)$ 是否等于 $2$」。$a=-2$ 时秩降到 $1$，几何重数够，可对角化；$a=-\frac{2}{3}$ 时秩为 $2$，几何重数只有 $1$，亏损，不可对角化。

本题考查特征多项式、二重特征值的两种可能，以及可对角化的判据（二重特征值对应的线性无关特征向量个数是否等于 $2$）。

计算特征多项式：
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& 3\\ 1& \lambda -4& 3\\ -1& -a& \lambda -5\end{array}\right|=(\lambda -2)({\lambda }^2-8\lambda +3a+18).$$
可见 $\lambda =2$ 恒为一个特征值。二重根有两种情形。

情形一：$\lambda =2$ 是二重根。 则 $\lambda =2$ 满足 ${\lambda }^2-8\lambda +3a+18=0$，即 $4-16+3a+18=0$，解得 $a=-2$。此时特征值为 $2$（二重）和 $6$。检验：
$$2E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 1& -2& 3\\ -1& 2& -3\end{array}\right),\mathrm{rank}(2E-A)=1,$$
故 $\lambda =2$ 对应的特征向量有 $3-1=2$ 个线性无关，等于其重数，$A$ 可相似对角化。

情形二：$\lambda =2$ 是单根，二重根来自二次因式。 则 ${\lambda }^2-8\lambda +3a+18=0$ 有二重根，判别式 $\Delta =64-4(3a+18)=0$，解得 $a=-\frac{2}{3}$。此时二重特征值 $\lambda =\frac{8}{2}=4$（另一个特征值为 $2$）。检验：
$$\mathrm{rank}(4E-A)=2,$$
故 $\lambda =4$ 对应的特征向量只有 $3-2=1$ 个线性无关，小于重数 $2$，$A$ 不可相似对角化。