2002 年考研数学（二） 第 9 题

解这类「导数极限与函数性态」的选择题，核心是把 $f$ 的增量与 $f^{\prime }$ 通过拉格朗日中值定理 $f(x)-f(X)=f^{\prime }(\xi )(x-X)$ 挂钩。有界 + 无限长区间是关键组合：若 $f^{\prime }$ 有非零极限，$(x-X)$ 无限增大就把 $f$ 顶到无穷，与有界矛盾——这正是 B。反过来 A（由 $f\to 0$ 推 $f^{\prime }\to 0$）没有对导数的控制，$f^{\prime }$ 可剧烈振荡；C、D 换到 $x\to 0^{+}$ 丢掉了无限长区间，放大论证失效。抓住「哪个选项能让中值定理的 $(x-X)$ 发挥作用」即锁定 B。

本题考查有界性、导数极限与拉格朗日中值定理的联系。 结论：在 $(0,+\infty )$ 上有界且可导时，若 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$ 存在，则必有 $A=0$。

反证：设 $A=\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)\ne 0$，不妨设 $A>0$。取 ${\epsilon }_0=\frac{A}{2}>0$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时 $|f^{\prime }(x)-A|<\frac{A}{2}$，于是 $f^{\prime }(x)>\frac{A}{2}$。

对 $x>X$ 用拉格朗日中值定理：$f(x)-f(X)=f^{\prime }(\xi )(x-X)$，$\xi \in (X,x)$，故 $f(x)>f(X)+\frac{A}{2}(x-X)$。当 $x\to +\infty$ 时右端 $\to +\infty$，从而 $f(x)\to +\infty$，与 $f(x)$ 有界矛盾。$A<0$ 同理。故 $A=0$。选 B。

其余选项均不成立：A 中 $f(x)\to 0$ 不能保证 $f^{\prime }(x)\to 0$（如 $f(x)=\frac{\sin x^2}{x}$，有界且趋于 $0$，但 $f^{\prime }$ 无极限、不趋于 $0$）；C、D 把讨论换到 $x\to 0^{+}$，没有「无穷长区间」可利用，中值定理的放大论证失效，结论均不必成立。