2002 年考研数学（二） 第 10 题

扩充一个向量后线性相关性怎么变？只看新向量能否被原无关组表示：能表示则相关，不能则无关。$k{\beta }_1+{\beta }_2$ 里 ${\beta }_1$ 那部分永远「可表示」不添乱，真正决定命运的是 ${\beta }_2$——它永远表示不了，于是不论 $k$ 取何值整体都无关（选 A）。而 ${\beta }_1+k{\beta }_2$ 的命运被 $k$ 左右：$k=0$ 退化成可表示的 ${\beta }_1$，$k\ne 0$ 又变成不可表示，结论随 $k$ 翻转，所以带「任意 $k$」的 C、D 都不成立。

本题考查向量组线性相关性的判定与「能否被线性表示」的关系。 核心引理：设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，则「${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\gamma$ 线性无关」当且仅当「$\gamma$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示」。

分析 A 的向量 $\gamma =k{\beta }_1+{\beta }_2$：因 ${\beta }_1$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示，$k{\beta }_1$ 也可表示；若 $k{\beta }_1+{\beta }_2$ 能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示，则 ${\beta }_2=(k{\beta }_1+{\beta }_2)-k{\beta }_1$ 也能表示，与「${\beta }_2$ 不能表示」矛盾。故 $k{\beta }_1+{\beta }_2$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示。

由引理，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,k{\beta }_1+{\beta }_2$ 对任意 $k$ 都线性无关，故 A 正确、B 错误。

对于 C、D 中的 ${\beta }_1+k{\beta }_2$：当 $k=0$ 时它是 ${\beta }_1$，可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示，此时四个向量线性相关（C 错）；当 $k\ne 0$ 时 ${\beta }_1+k{\beta }_2$ 不能被表示，四个向量线性无关（D 错）。可见 C、D 的结论都不能对「任意常数 $k$」成立。故选 A。