2002 年考研数学（二） 第 11 题

极坐标切线问题不必背极坐标下的切线角公式，最稳的是化成参数方程 $x=r(\theta )\cos \theta ,y=r(\theta )\sin \theta$，再用 $\frac{dy}{dx}=\frac{y_{\theta }^{\prime }}{x_{\theta }^{\prime }}$。本题一个漂亮的巧合是 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 时分子分母都等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$，斜率恰为 $1$，于是切线、法线斜率是 $\pm 1$。剩下就是把切点坐标算准，用点斜式收尾——法线斜率取切线斜率的负倒数。

本题考查极坐标曲线化为参数方程后求切线、法线。 由 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，把曲线写成以 $\theta$ 为参数的参数方程。

$$\{\begin{array}{l}x=(1-\cos \theta )\cos \theta ,\\ y=(1-\cos \theta )\sin \theta .\end{array}$$
当 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 时（$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$），切点为
$$M_0\left((1-\frac{\sqrt{3}}{2})\frac{\sqrt{3}}{2},(1-\frac{\sqrt{3}}{2})\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4},\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$

由参数方程求导公式 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta }{dx/d\theta }$：
$$\frac{dy}{d\theta }={\sin }^2\theta +(1-\cos \theta )\cos \theta ,\frac{dx}{d\theta }=\sin \theta \cos \theta -(1-\cos \theta )\sin \theta .$$
代入 $\theta =\frac{\pi }{6}$，两者都等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$，故切线斜率
$${\frac{dy}{dx}|}_{\theta =\frac{\pi }{6}}=1.$$

切线（斜率 $1$，过 $M_0$）：
$$y-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4})=1\cdot (x-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}\left)\right)\Rightarrow y=x-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{5}{4}.$$
法线（斜率 $-1$，过 $M_0$）：
$$y-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4})=-(x-(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}\left)\right)\Rightarrow y=-x+\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}.$$