2002 年考研数学（二） 第 12 题

变限积分遇分段被积函数，铁律是「按上限 $x$ 所在区间分段，越过分界点就把积分拆开累加」。第一段是多项式，直接积。第二段 $\frac{t{e}^t}{(e^t+1{)}^2}$ 形如「$t\times$（某函数的微分）」，应想分部积分，且 $\frac{e^t}{(e^t+1{)}^2}$ 正是 $-\frac{1}{e^t+1}$ 的导数，凑微分后分部一步到位。最后别忘接上 ${\int }_{-1}^0$ 那段常数，并可用 $x=0$ 处两段相等来自检连续性。

本题考查变限积分与分段函数的积分（含分部积分、凑微分）。 $F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)dt$ 要按 $x$ 落在哪一段分别写。

当 $-1\le x<0$ 时，积分区间全在第一段上：
$$F(x)={\int }_{-1}^x(2t+\frac{3}{2}{t}^2)dt=[t^2+\frac{1}{2}{t}^3{]}_{-1}^x=x^2+\frac{1}{2}{x}^3-(1-\frac{1}{2})=\frac{x^3}{2}+x^2-\frac{1}{2}.$$

当 $0\le x\le 1$ 时，拆成两段：
$$F(x)={\int }_{-1}^0(2t+\frac{3}{2}{t}^2)dt+{\int }_0^x\frac{t{e}^t}{(e^t+1{)}^2}dt.$$
第一段 $=[t^2+\frac{1}{2}{t}^3{]}_{-1}^0=0-(1-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$。

第二段用凑微分：注意 $\frac{e^t}{(e^t+1{)}^2}dt=-d\left(\frac{1}{e^t+1}\right)$，故
$${\int }_0^x\frac{t{e}^t}{(e^t+1{)}^2}dt=-{\int }_0^{x}td\left(\frac{1}{e^t+1}\right)=-\frac{t}{e^t+1}{|}_0^x+{\int }_0^x\frac{dt}{e^t+1}.$$
而 ${\int }_0^x\frac{dt}{e^t+1}={\int }_0^x\frac{e^{-t}}{1+e^{-t}}dt=-\ln (1+e^{-t}){|}_0^x=-\ln (1+e^{-x})+\ln 2$。

合并第二段：
$$-\frac{x}{e^x+1}+0-\ln (1+e^{-x})+\ln 2=-\frac{x}{e^x+1}-\ln \frac{e^x+1}{e^x}+\ln 2.$$
再加上第一段的 $-\frac{1}{2}$，得 $0\le x\le 1$ 时
$$F(x)=-\frac{x}{e^x+1}-\ln \frac{e^x+1}{e^x}+\ln 2-\frac{1}{2}.$$

综上
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{2}+x^2-\frac{1}{2},& -1\le x<0,\\ -\frac{x}{e^x+1}-\ln \frac{e^x+1}{e^x}+\ln 2-\frac{1}{2},& 0\le x\le 1.\end{array}$$
（在 $x=0$ 处两段都等于 $-\frac{1}{2}$，$F$ 连续。）