2002 年考研数学（二） 第 13 题

看到 $[\cdot {]}^{1/h}$ 且底数 $\to 1$ 就是 $1^{\infty }$，标准动作是「凑 $e$」：把底写成 $1+u$，用 $(1+u{)}^{1/u}\to e$，难点全在指数 $\frac{u}{h}$ 上——这里它恰好凑成导数定义 $x{f}^{\prime }(x)/f(x)$。极限一算完，指数相等给出一阶可分离方程 $\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{1}{x^2}$，分离积分即得 $f=C{e}^{-1/x}$。最后用 $x\to +\infty$ 的极限条件（注意 $e^{-1/x}\to 1$）定出 $C=1$。

本题考查由极限关系导出微分方程再求解（用到重要极限 $\lim (1+u{)}^{1/u}=e$ 与可分离变量方程）。 先把左端极限算出来。

记 $u=\frac{f(x+hx)-f(x)}{f(x)}$，当 $h\to 0$ 时 $u\to 0$。则
$${\left[\frac{f(x+hx)}{f(x)}\right]}^{\frac{1}{h}}=(1+u{)}^{\frac{1}{h}}=[(1+u{)}^{\frac{1}{u}}{]}^{\frac{u}{h}}.$$
其中 $(1+u{)}^{1/u}\to e$，而
$$\frac{u}{h}=\frac{f(x+hx)-f(x)}{hf(x)}=\frac{x}{f(x)}\cdot \frac{f(x+hx)-f(x)}{hx}\stackrel{h\to 0}{\to }\frac{x}{f(x)}{f}^{\prime }(x).$$

故左端极限 $=e^{\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}}$。由条件 $e^{\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}}=e^{\frac{1}{x}}$，得
$$\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{x},\text{即}\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{x^2}.$$

这是可分离变量方程，两端积分：$\ln f(x)=\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C_0$，即 $f(x)=C{e}^{-\frac{1}{x}}$。

由 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }C{e}^{-\frac{1}{x}}=C=1$，得 $C=1$。故
$$f(x)=e^{-\frac{1}{x}}.$$
（验证：$\frac{x{f}^{\prime }}{f}=x\cdot \frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}$，且 $f>0$、${\lim }_{x\to +\infty }f=1$，均满足。）