2002 年考研数学（二） 第 14 题

这是「解方程 → 建立目标函数 → 求最值」的三段式综合题。第一步别被 $xdy+(x-2y)dx=0$ 的微分形式吓到，除以 $xdx$ 就是标准一阶线性，积分因子 $x^{-2}$ 一步解出 $y=C{x}^2+x$。关键转折是「任意常数 $C$ 变成待优化变量」：把体积 $V=\pi {\int }_1^2{y}^{2}dx$ 积出来是 $C$ 的开口向上二次函数，令 $\frac{dV}{dC}=0$ 得唯一驻点即最小。凡是「求一个解使某几何量最小」，都按此套路把自由常数当自变量优化。

本题综合考查一阶线性微分方程、旋转体体积与一元函数最值。 先解方程得到含任意常数的解族，再把体积表示成该常数的函数并求最小值。

第一步：解方程。 $xdy+(x-2y)dx=0$ 化为标准一阶线性形式
$$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=-1.$$
积分因子 $\mu =e^{\int -\frac{2}{x}dx}=x^{-2}$，故 $(x^{-2}y{)}^{\prime }=-x^{-2}$，积分得 $x^{-2}y=\frac{1}{x}+C$，即
$$y=C{x}^2+x.$$

第二步：写出体积。 绕 $x$ 轴旋转，$V(C)=\pi {\int }_1^2{y}^{2}dx=\pi {\int }_1^2(C{x}^2+x{)}^{2}dx$。展开积分：
$$V(C)=\pi {\int }_1^2(C^2{x}^4+2C{x}^3+x^2)dx=\pi \left(\frac{31}{5}{C}^2+\frac{15}{2}C+\frac{7}{3}\right).$$

第三步：求最小。 $V^{\prime }(C)=\pi \left(\frac{62}{5}C+\frac{15}{2}\right)=0$，解得 $C=-\frac{75}{124}$。又 $V^{\prime \prime }(C)=\frac{62}{5}\pi >0$，故此 $C$ 使体积取最小值。

所以所求曲线为
$$y=x-\frac{75}{124}{x}^2.$$