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2002 年考研数学（二）第 15 题

解答题 · 7 分

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线

l

为对称轴，闸门的上部为矩形

A B C D

，下部由二次抛物线与线段

A B

所围成。已知矩形宽度为

2

米（对称轴两侧各

1

米），下部抛物线部分的深度为

1

米。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为

5 : 4

，闸门矩形部分的高

h

应为多少米？

提示 1

建立坐标系（抛物线顶点为原点、对称轴为

y

轴），抛物线方程取

y = x^{2}

，水面在

y = 1 + h

，则高度

y

处水深为

1 + h - y

。

提示 2

压力微元

d F = ρ g (1 + h - y) \cdot (条宽) d y

：矩形部分条宽恒为

2

，抛物线部分条宽为

2 y

。

提示 3

分别积出

F_{1} = ρ g h^{2}

、

F_{2} = 4 ρ g (\frac{h}{3} + \frac{2}{15})

，令

F_{1} : F_{2} = 5 : 4

解出

h

。

答案与详解

答案 $h = 2$ （米）

思路（为什么这么做）

静水压力题的通法：切水平薄条，写

d F = ρ g \cdot (水深) \cdot (宽度) \cdot d y

，再积分。本题两处细节最易错——一是水深要用「水面高度减当前高度」

= 1 + h - y

（水面在顶端

1 + h

）；二是抛物线部分的宽度随高度变化，由

y = x^{2}

得半宽

y

、全宽

2 y

。

ρ g

是公共系数，作比时自动约掉，于是比例方程只剩纯几何量，化成关于

h

的二次方程取正根即可。

解答

本题考查定积分的物理应用——液体（静水）压力。 水深为

D

处的压强为

ρ g D

，对竖直薄条

[y, y + d y]

，压力微元

= ρ g \cdot (水深) \cdot (条宽) \cdot d y

。建立坐标系：抛物线顶点

O

为原点，对称轴为

y

轴，抛物线方程

y = x^{2}

，水面在

y = 1 + h

，故高度

y

处水深为

(1 + h - y)

。

矩形部分压力 $F_{1}$ 。 该部分

y \in [1, 1 + h]

，宽度恒为

2

：

F_{1} = \int_{1}^{1 + h} ρ g (1 + h - y) \cdot 2 d y = 2 ρ g \int_{1}^{1 + h} (1 + h - y) d y = 2 ρ g \cdot \frac{h ^{2}}{2} = ρ g h^{2} .

下部压力 $F_{2}$ 。 抛物线部分

y \in [0, 1]

，在高度

y

处宽度为

2∣ x ∣ = 2 y

：

F_{2} = \int_{0}^{1} ρ g (1 + h - y) \cdot 2 y d y = 2 ρ g \int_{0}^{1} (1 + h - y) y d y .

而

\int_{0}^{1} (1 + h - y) y d y = (1 + h) \cdot \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 ( 1 + h )}{3} - \frac{2}{5}

，故

F_{2} = 2 ρ g (\frac{2 ( 1 + h )}{3} - \frac{2}{5}) = 4 ρ g (\frac{h}{3} + \frac{2}{15}) .

由比值定 $h$ 。 令

F_{1} : F_{2} = 5 : 4

：

\frac{ρ g h ^{2}}{4 ρ g ( \frac{h}{3} + \frac{2}{15} )} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4 h^{2} = 5 \cdot 4 (\frac{h}{3} + \frac{2}{15}) .

化简得

3 h^{2} - 5 h - 2 = 0

，即

(3 h + 1) (h - 2) = 0

，取正根

h = 2

。故闸门矩形部分的高应为

2

米。

考点：定积分物理应用（功、压力、质心、形心）、定积分的概念与性质

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