2002 年考研数学（二） 第 16 题

递推数列求极限的标准三步：有界 → 单调 → 取极限。有界常靠均值不等式或归纳；这里 $\sqrt{x(3-x)}\le \frac{x+(3-x)}{2}=\frac{3}{2}$ 一眼给出上界 $\frac{3}{2}$。单调性用「作差 + 有理化」把根号差写成 $\frac{2x_n(\frac{3}{2}-x_n)}{\cdots }$，符号由 $\frac{3}{2}-x_n$ 决定，正好非负。注意首项 $x_1$ 可能超过 $\frac{3}{2}$，所以单调性从第二项起成立——这不影响收敛。最后在递推式两端令 $n\to \infty$ 得不动点方程，解得 $A=\frac{3}{2}$（舍去 $A=0$）。

本题考查用单调有界准则证明递推数列收敛。 思路：先证有上界，再证（从第二项起）单调递增，由单调有界准则得极限存在，最后在递推式两端取极限求值。

有上界。 对 $n\ge 1$，由均值不等式
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}\le \frac{x_n+(3-x_n)}{2}=\frac{3}{2}.$$
故当 $n\ge 2$ 时 $x_n\le \frac{3}{2}$，即 $\{x_n\}$ 有上界 $\frac{3}{2}$。（又由递推式 $x_n>0$，数列为正。）

单调递增（$n\ge 2$）。 考察相邻两项之差并有理化：
$$x_{n+1}-x_n=\sqrt{x_n(3-x_n)}-x_n=\frac{x_n(3-x_n)-x_n^2}{\sqrt{x_n(3-x_n)}+x_n}=\frac{2x_n\left(\frac{3}{2}-x_n\right)}{\sqrt{x_n(3-x_n)}+x_n}.$$
当 $n\ge 2$ 时 $0<x_n\le \frac{3}{2}$，分子 $2x_n\left(\frac{3}{2}-x_n\right)\ge 0$，分母为正，故 $x_{n+1}-x_n\ge 0$，$\{x_n\}$ 单调递增。

极限存在并求值。 由单调有界准则，$\{x_n\}$（从第二项起单调递增且有上界）收敛，记 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$（$0<A\le \frac{3}{2}$）。在 $x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}$ 两端取极限：
$$A=\sqrt{A(3-A)}\Rightarrow A^2=A(3-A)\Rightarrow 2A^2=3A\Rightarrow A=\frac{3}{2}(A\ne 0).$$
故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{3}{2}$。