2002 年考研数学（二） 第 17 题

含 $\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$ 的不等式，第一反应是拉格朗日中值定理把它变成 $\frac{1}{\xi }$（$a<\xi <b$），再用 $\xi$ 的范围夹出一侧——左边就这样轻松拿下。右边这类「差商 < 某式」若中值定理不够紧，就改用「构造函数 + 单调性」：固定 $a$、把 $b$ 换成变量 $x$，让待证不等式两边之差成为 $g(x)$，验证在起点 $x=a$ 处相等（$g(a)=0$）且此后 $g^{\prime }>0$，则 $g(b)>0$ 即得。$g^{\prime }$ 能配成完全平方 $(\sqrt{x}-\sqrt{a}{)}^2$ 是本题单调性成立的关键。

本题考查用拉格朗日中值定理与单调性证明不等式。 中间量 $\frac{\ln b-\ln a}{b-a}$ 提示对 $\ln x$ 用拉格朗日中值定理。

左边不等式。 对 $\ln x$ 在 $[a,b]$ 上用拉格朗日中值定理：存在 $\xi \in (a,b)$，使
$$\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{1}{\xi }.$$
因 $\xi <b$，有 $\frac{1}{\xi }>\frac{1}{b}$；又 $a^2+b^2>2ab$（由 $(a-b{)}^2>0$）给出 $\frac{1}{b}>\frac{2a}{a^2+b^2}$。故
$$\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{1}{\xi }>\frac{1}{b}>\frac{2a}{a^2+b^2}.$$

右边不等式。 要证 $\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}$，即 $\ln b-\ln a<\frac{b-a}{\sqrt{ab}}=\sqrt{\frac{b}{a}}-\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。构造辅助函数（把 $b$ 换成变量 $x$）：
$$g(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}-(\ln x-\ln a),x\ge a.$$
则 $g(a)=0$。

求导：
$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{a}\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{a}}{2x\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{x+a-2\sqrt{a}\sqrt{x}}{2\sqrt{a}x\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a}{)}^2}{2\sqrt{a}x\sqrt{x}}>0(x>a).$$
故 $g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上严格递增。由 $g(a)=0$ 知当 $x>a$ 时 $g(x)>0$。

取 $x=b>a$，得 $g(b)>0$，即 $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}>\ln b-\ln a$，也就是 $\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}$。综合两边即证
$$\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}.$$