2002 年考研数学（二） 第 18 题

「某组合减 $f(0)$ 是 $o(h^2)$」这类题，核心是泰勒展开配阶：把每个 $f(kh)$ 展到 $h^2$，收集 $h^0,h^1,h^2$ 的系数。要成为 $o(h^2)$，这三个系数必须同时为零，而 $f(0),f^{\prime }(0),f^{\prime \prime }(0)\ne 0$ 保证方程只约束 ${\lambda }_i$（系数不被抵消）。于是问题转化为线性方程组是否唯一可解——系数矩阵恰是节点 $1,2,3$ 的范德蒙德矩阵，行列式非零，唯一性立得。存在唯一性问题最终落到「行列式 $\ne 0$」是常见收尾。

本题考查带皮亚诺余项的泰勒公式与无穷小的阶，并归结为线性方程组解的唯一性。 把 $f(h),f(2h),f(3h)$ 在 $0$ 处展开到 $h^2$。

由 $f$ 有二阶连续导数，对 $k=1,2,3$ 有
$$f(kh)=f(0)+f^{\prime }(0)kh+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(0)k^2{h}^2+o(h^2).$$
于是
$${\lambda }_{1}f(h)+{\lambda }_{2}f(2h)+{\lambda }_{3}f(3h)-f(0)=({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3-1)f(0)+({\lambda }_1+2{\lambda }_2+3{\lambda }_3)f^{\prime }(0)h+\frac{1}{2}({\lambda }_1+4{\lambda }_2+9{\lambda }_3)f^{\prime \prime }(0)h^2+o(h^2).$$

该式为比 $h^2$ 高阶的无穷小（即 $o(h^2)$）当且仅当 $h^0,h^1,h^2$ 三项系数全为零。因 $f(0),f^{\prime }(0),f^{\prime \prime }(0)$ 均非零，等价于
$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1,\\ {\lambda }_1+2{\lambda }_2+3{\lambda }_3=0,\\ {\lambda }_1+4{\lambda }_2+9{\lambda }_3=0.\end{array}$$

该线性方程组的系数行列式为范德蒙德行列式
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|=(2-1)(3-1)(3-2)=2\ne 0,$$
故方程组有唯一解，即存在唯一的一组 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 满足要求。

（解之得 ${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=-3,{\lambda }_3=1$。）证毕。