2002 年考研数学（二） 第 19 题

含 $A^{-1}$ 的矩阵方程，第一步永远是「左乘或右乘适当矩阵清掉逆」——这里左乘 $A$ 把 $2A^{-1}B$ 变成 $2B$。第（1）问要证某矩阵可逆，最快是凑出一个含它的乘积等式 $(A-2E)B=4A$，再用行列式的乘法性质：右端 $|4A|=64|A|\ne 0$ 迫使左端每个因子行列式都非零。第（2）问把同一等式解成 $A=2B(B-4E{)}^{-1}$，$B-4E$ 是分块对角矩阵，按块求逆很省事。

本题考查矩阵方程的恒等变形与逆矩阵。 注意 $A^{-1}$ 出现说明 $A$ 可逆（$|A|\ne 0$）。

（1）证明 $A-2E$ 可逆。 在 $2A^{-1}B=B-4E$ 两端左乘 $A$：
$$2B=AB-4A\Rightarrow AB-2B=4A\Rightarrow (A-2E)B=4A.$$
两端取行列式：$|A-2E||B|=|4A|=4^3|A|=64|A|$。因 $A$ 可逆，$|A|\ne 0$，故右端非零，从而 $|A-2E|\ne 0$，即 $A-2E$ 可逆。

（2）求 $A$。 由 $2A^{-1}B=B-4E$ 两端左乘 $A$ 得 $2B=A(B-4E)$，故 $A=2B(B-4E{)}^{-1}$（需 $B-4E$ 可逆，下面求逆时自然验证）。

计算 $B-4E=\left(\begin{array}{ccc}-3& -2& 0\\ 1& -2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$。它是分块对角结构，左上 $2\times 2$ 块 $\left(\begin{array}{cc}-3& -2\\ 1& -2\end{array}\right)$ 的行列式为 $8$，故
$$(B-4E{)}^{-1}=\frac{1}{8}\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 0\\ -1& -3& 0\\ 0& 0& -4\end{array}\right).$$

于是
$$A=2B(B-4E{)}^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 0\\ -1& -3& 0\\ 0& 0& -4\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}0& 8& 0\\ -4& -4& 0\\ 0& 0& -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ -1& -1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right).$$