2002 年考研数学（二） 第 20 题

这类题不给具体数字，考的是「向量关系 ↔ 方程组解」的翻译能力。两条关系各对应一件事：${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$ 移项成 ${\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$，系数 $(1,-2,1,0)$ 就是齐次方程 $Ax=0$ 的解（基础解系，因为秩 $3$、解空间维数 $1$）；$\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4$ 说明系数 $(1,1,1,1)$ 是 $Ax=\beta$ 的特解。按「齐次通解 + 特解」拼起来即通解，全程不用解方程。

本题考查非齐次线性方程组通解的结构：通解 = 对应齐次方程组的基础解系（通解）+ 一个特解。 无需具体数值，只要从向量间关系读出解。

求秩，定基础解系维数。 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，而 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$ 可由它们线性表示，故 $r(A)=3$。又 $\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4$ 可由列向量表示，增广矩阵秩也是 $3$，即 $r(A)=r(\overline{A})=3<4$，方程组有无穷多解，$Ax=0$ 的基础解系含 $4-3=1$ 个解向量。

求齐次解。 $Ax=0$ 即 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3+x_4{\alpha }_4=0$。由 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$ 得 ${\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3+0\cdot {\alpha }_4=0$，故 $\xi =(1,-2,1,0{)}^{\mathsf{T}}$ 是 $Ax=0$ 的一个非零解，它构成基础解系。

求特解。 由 $\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4=A(1,1,1,1{)}^{\mathsf{T}}$，知 $\eta =(1,1,1,1{)}^{\mathsf{T}}$ 是 $Ax=\beta$ 的一个特解。

通解。
$$x=k\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)(k\text{为任意常数}).$$