2002 年考研数学（二） 第 8 题

题目把微分方程当「幌子」，真正考的是在一点处的局部信息。诀窍：初值 $y(0)=y^{\prime }(0)=0$ 说明 $y$ 在 $0$ 处是二阶无穷小 $y(x)\sim \frac{1}{2}{y}^{\prime \prime }(0)x^2$，而 $y^{\prime \prime }(0)$ 直接把 $x=0$ 代方程即得（$=1$）。于是 $\frac{\ln (1+x^2)}{y}\sim \frac{x^2}{\frac{1}{2}{x}^2}=2$。凡是「给微分方程 + 初值，求含 $y$ 的极限」，都先想代点取导数信息，再用泰勒/等价无穷小配阶。

本题考查极限计算（等价无穷小、洛必达）与微分方程在一点处的信息读取。 不必解出 $y(x)$，只需知道 $y$ 在 $0$ 处的值与前几阶导数。

把 $x=0$ 代入方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=e^{3x}$，并用 $y(0)=y^{\prime }(0)=0$：
$$y^{\prime \prime }(0)+p\cdot 0+q\cdot 0=e^0=1\Rightarrow y^{\prime \prime }(0)=1.$$

当 $x\to 0$ 时 $\ln (1+x^2)\sim x^2$，故
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x^2)}{y(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{y(x)}.$$
这是 $\frac{0}{0}$ 型（$y(0)=0$），洛必达一次：$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{y^{\prime }(x)}$，仍为 $\frac{0}{0}$（$y^{\prime }(0)=0$）。

改写为导数定义：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{y^{\prime }(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{\frac{y^{\prime }(x)-y^{\prime }(0)}{x}}=\frac{2}{y^{\prime \prime }(0)}=\frac{2}{1}=2.$$
故极限等于 $2$，选 C。