2002 年考研数学（二） 第 7 题

这类题不要去积分，只判断被积函数奇偶再套「奇积分→偶、偶积分→奇」。因子 $t$ 本身是奇的，所以看方括号里 $f(t)\pm f(-t)$ 的奇偶即可：$f(t)+f(-t)$ 关于 $t$ 是偶的，乘上奇的 $t$ 得奇被积函数 → 积分为偶（选 D）；而 $f(t)-f(-t)$ 是奇的，乘 $t$ 得偶 → 积分为奇（排除 C）。A、B 里 $f(t^2)$、$f^2(t)$ 奇偶不定，直接排除。

本题考查变限积分的奇偶性。 关键结论：若被积函数 $g(t)$ 为奇函数，则 $G(x)={\int }_0^{x}g(t)dt$ 为偶函数；若 $g(t)$ 为偶函数，则 $G(x)$ 为奇函数。

逐项判断被积函数的奇偶性（把 $t$ 换成 $-t$）：
D 中 $g(t)=t[f(t)+f(-t)]$，则 $g(-t)=(-t)[f(-t)+f(t)]=-g(t)$，是奇函数，故 ${\int }_0^{x}t[f(t)+f(-t)]dt$ 为偶函数。

对照其余选项：C 中 $g(t)=t[f(t)-f(-t)]$ 满足 $g(-t)=(-t)[f(-t)-f(t)]=t[f(t)-f(-t)]=g(t)$，是偶函数，其积分为奇函数；A、B 的被积函数 $f(t^2)$、$f^2(t)$ 一般无确定奇偶性，积分奇偶性不定。故只有 D 必为偶函数。