2002 年考研数学（二） 第 6 题

「线性主部」是微分的别名，抓住 $dy=y^{\prime }(x_0)\Delta x$ 就赢了一半。关键陷阱在 $x=-1$：链式法则给 $y^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2)$，代入后 $x^2=1$ 所以出现的是 $f^{\prime }(1)$（而非 $f^{\prime }(-1)$），系数 $2x=-2$ 带一个负号，正好与 $\Delta x=-0.1$ 的负号相乘变正，最终 $0.2f^{\prime }(1)=0.1$ 得 $0.5$。

本题考查微分的概念（增量的线性主部即微分 $dy$）与复合函数求导。 $\Delta y$ 的线性主部就是微分 $dy=y^{\prime }(x)\Delta x$。

由复合函数求导：$y^{\prime }=f^{\prime }(x^2)\cdot (x^2{)}^{\prime }=2x{f}^{\prime }(x^2)$，在 $x=-1$ 处 $y^{\prime }(-1)=2\cdot (-1)\cdot f^{\prime }(1)=-2f^{\prime }(1)$。

于是 $dy=y^{\prime }(-1)\Delta x=-2f^{\prime }(1)\cdot (-0.1)=0.2f^{\prime }(1)$。

由题意 $dy=0.1$，即 $0.2f^{\prime }(1)=0.1$，解得 $f^{\prime }(1)=0.5$。故选 D。