2002 年考研数学（二） 第 5 题

求特征值就是解 $|\lambda E-A|=0$。三阶行列式别硬展开，先做行列变换制造零元素再展开更稳。本题的快速验算靠两个不变量：迹等于特征值之和（$\mathrm{tr}A=4$），行列式等于特征值之积（$\det A=0$，说明至少一个特征值为 $0$）。由这两条几乎能反推出谱是 $\{0,0,4\}$，非零特征值即 $4$。

本题考查特征值的计算。 记 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& -2\\ 2& 2& -2\\ -2& -2& 2\end{array}\right)$，由特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 求特征值。

$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 2& 2\\ -2& \lambda -2& 2\\ 2& 2& \lambda -2\end{array}\right|.$$
将第 $2$ 行加到第 $3$ 行（$r_3+r_2$），第三行变为 $(0,\lambda ,\lambda )$，再把第 $2$ 列减第 $3$ 列化简，可得
$$|\lambda E-A|={\lambda }^2(\lambda -4).$$

故特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$，${\lambda }_3=4$。（可用迹校验：$\mathrm{tr}A=0+2+2=4=0+0+4$。）因此非零特征值为 $4$。