2002 年考研数学（二） 第 4 题

和式里出现 $\frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})$ 的结构，第一反应就是「定积分定义」：$\frac{1}{n}$ 是区间宽度，$\frac{k}{n}$ 是分点，极限即 ${\int }_0^{1}f$。这里 $f(x)=\sqrt{1+\cos \pi x}$。碰到 $\sqrt{1+\cos }$ 一律想倍角化平方 $1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$ 以脱根号，唯一要小心的是开方带绝对值——先判断被开方角度落在哪个象限，本题 $\frac{t}{2}\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 余弦非负，可放心去掉。

本题考查用定积分定义求和式极限。 把和式写成 $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+\cos \frac{k\pi }{n}}$，它是函数 $g(x)=\sqrt{1+\cos \pi x}$ 在 $[0,1]$ 上、取分点 $x_k=\frac{k}{n}$ 的黎曼和。

故
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+\cos \frac{k\pi }{n}}={\int }_0^1\sqrt{1+\cos \pi x}dx.$$

作代换 $t=\pi x$（$dt=\pi dx$），并用倍角公式 $1+\cos t=2{\cos }^2\frac{t}{2}$：
$${\int }_0^1\sqrt{1+\cos \pi x}dx=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sqrt{1+\cos t}dt=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sqrt{2}\left|\cos \frac{t}{2}\right|dt.$$

在 $[0,\pi ]$ 上 $\frac{t}{2}\in [0,\frac{\pi }{2}]$，$\cos \frac{t}{2}\ge 0$，去掉绝对值：
$$\frac{\sqrt{2}}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos \frac{t}{2}dt=\frac{\sqrt{2}}{\pi }\cdot [2\sin \frac{t}{2}{]}_0^{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{\pi }\cdot 2=\frac{2\sqrt{2}}{\pi }.$$