2002 年考研数学（二） 第 3 题

$y{y}^{\prime \prime }+y^{\prime 2}=0$ 有两种看法：一是「不显含 $x$」型令 $y^{\prime }=p(y),y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$ 降阶；二是直接识别整体导数 $(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=y^{\prime 2}+y{y}^{\prime \prime }$，这更快。看到 $y^{\prime 2}+y{y}^{\prime \prime }$ 这种「一次导平方 + 函数乘二次导」的组合，几乎必是某乘积的导数。得 $y{y}^{\prime }=C_1$ 后再用 $y{y}^{\prime }=\frac{1}{2}(y^2{)}^{\prime }$ 二次积分。两次都要用初值定常数，最后由 $y(0)>0$ 决定开方取正号。

本题考查可降阶的高阶微分方程（不显含 $x$ 型）。 方程 $y{y}^{\prime \prime }+y^{\prime 2}=0$ 缺 $x$，但更巧的是它恰为一个乘积的导数：注意 $(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=y^{\prime 2}+y{y}^{\prime \prime }$。

因此原方程即 $(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=0$，积分得 $y{y}^{\prime }=C_1$。代入 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$ 得 $C_1=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，即 $y{y}^{\prime }=\frac{1}{2}$。

又 $y{y}^{\prime }=\frac{1}{2}(y^2{)}^{\prime }$，故 $\frac{1}{2}(y^2{)}^{\prime }=\frac{1}{2}$，即 $(y^2{)}^{\prime }=1$，积分得 $y^2=x+C_2$。

再由 $y(0)=1$ 得 $C_2=1$，故 $y^2=x+1$。因 $y(0)=1>0$，取正根，得特解 $y=\sqrt{x+1}$。