2002 年考研数学（二） 第 2 题

看到「$x$ 轴上方、曲线下方且区域无界」就该想到这是收敛的反常积分求面积。$\int x{e}^{-x}dx$ 是分部积分的经典对象（幂函数乘指数），$u=x$ 求导降幂、$dv=e^{-x}dx$ 积分不涨阶，一次分部即化为 $\int e^{-x}dx$。记住 ${\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!$，此处 $n=1$ 直接得 $1$。

本题考查用反常积分求无界区域的面积。 在 $[0,+\infty )$ 上 $y=x{e}^{-x}\ge 0$，所求面积为 $A={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx$。

用分部积分：
$${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx=[-x{e}^{-x}{]}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx.$$
当 $x\to +\infty$ 时 $x{e}^{-x}\to 0$，故第一项为 $0$；而 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=[-e^{-x}{]}_0^{+\infty }=1$。

所以 $A={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx=1$。（也可直接用 $\Gamma (2)=1!=1$。）