2002 年考研数学（二） 第 1 题

分界点连续问题的标准套路：分别求两侧极限并与函数值比较。左侧是光滑的指数式，极限直接代入得 $a$；右侧是 $\frac{0}{0}$ 型，别急着洛必达，先用等价无穷小把 $1-e^{\tan x}$ 换成 $-x$、把 $\arcsin \frac{x}{2}$ 换成 $\frac{x}{2}$，比值一眼就是 $-2$。让两侧相等即得 $a=-2$。

本题考查分段函数在分界点处的连续性。 连续要求左极限、右极限与函数值三者相等，即 $f(0^{-})=f(0^{+})=f(0)$。

先算右极限（$x\to 0^{+}$）。当 $x\to 0$ 时 $\tan x\to 0$，用等价无穷小 $e^{\tan x}-1\sim \tan x\sim x$，以及 $\arcsin \frac{x}{2}\sim \frac{x}{2}$：
$$f(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-\tan x}{\frac{x}{2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-x}{x/2}=-2.$$

再算左极限与函数值：当 $x\le 0$ 时 $f(x)=a{e}^{2x}$，故 $f(0^{-})=f(0)=a{e}^0=a$。

由连续性 $f(0^{-})=f(0^{+})$，即 $a=-2$。