2001 年考研数学（二） 第 5 题

含参数方程组问「有无穷多解」，标准流程是「行列式 $=0$ 找候选 → 逐个回代比较秩」。行列式为零只是必要条件，本题 $a=1$ 就是陷阱：它让系数矩阵秩掉到 $1$，但增广矩阵秩为 $2$，方程组无解，必须舍去；只有 $a=-2$ 满足 $r(A)=r(\overline{A})=2<3$。

本题考查非齐次线性方程组有无穷多解的条件：$r(A)=r(\overline{A})<n$。 三阶方阵，先由系数行列式为零缩小 $a$ 的范围。

系数行列式
$$\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|=(a+2)(a-1{)}^2=0,$$
解得 $a=-2$ 或 $a=1$。（行列式为零是有无穷多解的必要条件。）

当 $a=1$ 时，增广矩阵 $\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(A)=1\ne r(\overline{A})=2$，方程组无解，舍去。

当 $a=-2$ 时，$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 1& 1\\ 1& -2& 1& 1\\ 1& 1& -2& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(A)=r(\overline{A})=2<3$，有无穷多解。故 $a=-2$。