2001 年考研数学（二） 第 4 题

一阶线性方程当然能套积分因子公式，但更快的是「凑全导数」：本题 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(\arcsin x{)}^{\prime }$ 的信号极强，一眼看出左端就是 $(y\arcsin x{)}^{\prime }$，直接积分即得，省去所有积分因子的计算。

本题考查一阶线性微分方程（识别为乘积的全导数直接积分）。

注意到 $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，故等式左端恰是乘积 $y\arcsin x$ 的导数：
$$(y\arcsin x{)}^{\prime }=y^{\prime }\arcsin x+y\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1.$$

两端积分得 $y\arcsin x=x+C$。代入点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$：$0\cdot \arcsin \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+C$，得 $C=-\frac{1}{2}$。

故所求曲线为 $y\arcsin x=x-\frac{1}{2}$（即 $y=\frac{x-\frac{1}{2}}{\arcsin x}$）。