2001 年考研数学（二） 第 3 题

对称区间上的积分，先用奇偶性「砍一半」——奇函数项直接为 $0$，本题的 $x^3{\cos }^{2}x$ 就是这样一个干扰项。剩下的偶函数 ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 用二倍角连续降幂化成 $\frac{1}{8}(1-\cos 4x)$，一步积出。

本题考查对称区间上积分的奇偶性化简与三角函数积分。 把被积函数拆成 $x^3{\cos }^{2}x$ 与 ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 两部分。

$x^3{\cos }^{2}x$ 是奇函数，在对称区间 $[-\pi /2,\pi /2]$ 上积分为 $0$；${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 是偶函数，故
$$\text{原式}=2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx.$$

利用二倍角降幂 ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{8}(1-\cos 4x)$：
$$2{\int }_0^{\pi /2}\frac{1}{8}(1-\cos 4x)dx=\frac{1}{4}{\left[x-\frac{\sin 4x}{4}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{8}.$$