2001 年考研数学（二） 第 2 题

隐函数在某点求切线/法线，套路是「两端对 $x$ 求导 → 代入该点解 $y^{\prime }$ → 取负倒数得法线斜率 → 点斜式」。出题人把点选在 $x=0$，正是为了让 $\sin (xy)$ 那一项因 $\sin 0=0$ 直接消失，代入后一步就能解出 $y^{\prime }=-2$。

本题考查隐函数求导及切线、法线方程。 先验证 $(0,1)$ 在曲线上：$e^{2\cdot 0+1}-\cos 0=e-1$，成立。

方程两端对 $x$ 求导（$y$ 是 $x$ 的函数）：
$$e^{2x+y}\left(2+\frac{dy}{dx}\right)+\sin (xy)\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)=0.$$

将 $x=0,y=1$ 代入（注意 $\sin (0)=0$ 使第二项消失）：$e(2+y^{\prime })=0$，得 $y^{\prime }{|}_{(0,1)}=-2$，即切线斜率为 $-2$。

法线斜率是切线斜率的负倒数：$-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$。由点斜式，法线方程为 $y-1=\frac{1}{2}(x-0)$，即 $y=\frac{1}{2}x+1$。