2001 年考研数学（二） 第 1 题

$\frac{0}{0}$ 型且分子是两个根式之差，第一反应就是分子有理化：乘共轭后 $\sqrt{3-x}-\sqrt{1+x}$ 变成一次式 $-2(x-1)$，恰好与分母分解出的零因子 $(x-1)$ 约去，剩下的直接代入即可。也可用洛必达法则，但有理化更快、更不易算错。

本题考查 $\frac{0}{0}$ 型极限的计算（分子有理化）。 当 $x\to 1$ 时分子 $\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$、分母 $1+1-2=0$，为 $\frac{0}{0}$ 型。

分母分解 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$；分子乘共轭 $\sqrt{3-x}+\sqrt{1+x}$ 有理化，分子化为 $(3-x)-(1+x)=2-2x=-2(x-1)$，于是
$$\text{原式}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2(x-1)}{(x+2)(x-1)\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{1+x}\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2}{(x+2)\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{1+x}\right)}.$$

代入 $x=1$：$\frac{-2}{3\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{2})}=\frac{-2}{3\cdot 2\sqrt{2}}=-\frac{1}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{6}$。