2000 年考研数学（二） 第 6 题

含参连续 + 极限，拆成两条独立线索。连续性针对“分母会不会为零”：${\mathrm{e}}^{bx}$ 恒正，只有 $a\ge 0$ 才保证分母 $a+{\mathrm{e}}^{bx}$ 永不为零。极限 ${\lim }_{x\to -\infty }=0$ 针对“谁压过谁”：分子是线性的 $x$，要让比值归零必须让分母爆炸到 $+\infty$，即 $x\to -\infty$ 时 ${\mathrm{e}}^{bx}\to +\infty$，得 $b<0$。两条合起来正好是 D。

本题考查函数连续性与极限对参数的约束。 分两个条件分别限制 $a$ 与 $b$。

连续性 $\Rightarrow a\ge 0$： 要使 $f$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上连续，分母 $a+{\mathrm{e}}^{bx}$ 须恒不为零。因 ${\mathrm{e}}^{bx}>0$，若 $a\ge 0$ 则 $a+{\mathrm{e}}^{bx}>0$ 恒成立；若 $a<0$，则 ${\mathrm{e}}^{bx}=-a$ 有解，分母会取零。故必须 $a\ge 0$。

极限 $\Rightarrow b<0$： 当 $a\ge 0$，考察 $x\to -\infty$。若 $b<0$，则 ${\mathrm{e}}^{bx}\to +\infty$，$f(x)=\frac{x}{a+{\mathrm{e}}^{bx}}\to 0$（分母指数增长压过分子线性增长）；若 $b\ge 0$，则 ${\mathrm{e}}^{bx}$ 趋于 $0$ 或 $1$，分母趋于有限值，$f(x)\to \frac{x}{\text{有限}}\to -\infty \ne 0$。故必须 $b<0$。

综合得 $a\ge 0,b<0$，应选 D。