2000 年考研数学（二） 第 7 题

驻点 $f^{\prime }(0)=0$ 却又 $f^{\prime \prime }(0)=0$，标准判别法两头落空，这时要盯住 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 附近的符号。诀窍是用原关系式把 $f^{\prime \prime }(x)=x-[f^{\prime }(x){]}^2$ 表出，除以 $x$ 取极限：$[f^{\prime }(x){]}^2$ 是高阶小量可丢，剩 $\lim \frac{f^{\prime \prime }}{x}=1>0$。保号性告诉我们 $f^{\prime \prime }$ 与 $x$ 同号，于是过 $0$ 变号——是拐点不是极值。凡“$f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=0$”的题，都往“$f^{\prime \prime }$ 变号=拐点”这个方向想。

本题考查极值与拐点的判定。 由 $f^{\prime }(0)=0$ 知 $x=0$ 是驻点，需判断它是极值点还是拐点，关键看 $f^{\prime \prime }$ 在 $0$ 附近的符号。

在关系式中令 $x=0$：$f^{\prime \prime }(0)+[f^{\prime }(0){]}^2=0$，又 $f^{\prime }(0)=0$，故 $f^{\prime \prime }(0)=0$。极值/拐点的二阶判别失效，改用一阶导数的变化趋势。

由 $f^{\prime \prime }(x)=x-[f^{\prime }(x){]}^2$，两端除以 $x$ 并取极限：${\lim }_{x\to 0}\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x}={\lim }_{x\to 0}(1-\frac{[f^{\prime }(x){]}^2}{x})=1$（因 $f^{\prime }(x)\to f^{\prime }(0)=0$，$[f^{\prime }(x){]}^2$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小，故 $\frac{[f^{\prime }(x){]}^2}{x}\to 0$）。

由极限保号性，存在 $\delta >0$，当 $0<|x|<\delta$ 时 $\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x}>0$。于是 $x\in (-\delta ,0)$ 时 $f^{\prime \prime }(x)<0$，$x\in (0,\delta )$ 时 $f^{\prime \prime }(x)>0$，$f^{\prime \prime }$ 在 $0$ 两侧变号，故 $(0,f(0))$ 是拐点；又 $f^{\prime }(0)=0$ 而 $f^{\prime }$ 在 $0$ 处不变号，故 $f(0)$ 不是极值。应选 C。