2000 年考研数学（二） 第 8 题

看到 $f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$ 立刻要想到它是 $(\frac{f}{g}{)}^{\prime }$ 的分子（差 $g^2>0$ 不影响符号）。条件为负说明 $\frac{f}{g}$ 递减，于是 $a<x<b$ 时 $\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{f(b)}{g(b)}$；由于 $g>0$，两边交叉相乘方向不变，正好得到 A。这类“乘积/商的不等式选择题”，把条件识别成某商函数的导数是通用突破口。

本题考查用导数符号判断单调性并比较大小。 条件形如商的导数分子，提示研究 $\frac{f}{g}$ 的单调性。

因 $g(x)>0$，考察 $(\frac{f(x)}{g(x)}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}<0$，故 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在区间上单调递减。

于是当 $a<x<b$ 时，$\frac{f(a)}{g(a)}>\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{f(b)}{g(b)}$。

取 $\frac{f(x)}{g(x)}>\frac{f(b)}{g(b)}$，因 $g(x),g(b)>0$ 交叉相乘不变号，得 $f(x)g(b)>f(b)g(x)$。应选 A。