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2000 年考研数学（二）第 9 题

选择题 · 3 分

若

x \to 0 lim \frac{sin 6 x + x f ( x )}{x ^{3}} = 0

，则

x \to 0 lim \frac{6 + f ( x )}{x ^{2}}

为（　　）

A $0$
B $6$
C $36$
D $\infty$

提示 1

把已知分式里的

sin 6 x

借出一项：

sin 6 x + x f (x) = (sin 6 x - 6 x) + (6 x + x f (x))

。

提示 2

除以

x^{3}

后，第二块正是

\frac{6 + f ( x )}{x ^{2}}

，于是待求极限

= - lim \frac{s i n 6 x - 6 x}{x ^{3}}

。

提示 3

用

lim_{t \to 0} \frac{t - s i n t}{t ^{3}} = \frac{1}{6}

（

t = 6 x

），注意提出因子

6^{3}

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

已知与待求相差一个可算的“标准极限”

\frac{s i n 6 x - 6 x}{x ^{3}}

。技巧是在已知分子里“加减

6 x

”：

sin 6 x + x f (x) = (sin 6 x - 6 x) + (6 x + x f (x))

，除以

x^{3}

后第二块恰是待求的

\frac{6 + f ( x )}{x ^{2}}

。于是待求

= - lim \frac{s i n 6 x - 6 x}{x ^{3}} = lim \frac{6 x - s i n 6 x}{x ^{3}}

，换元

t = 6 x

提出

6^{3}

，乘以经典值

\frac{1}{6}

得

36

。

解答

本题考查极限的拆分与已知极限的利用（泰勒展开）。 把待求极限与已知极限用

\frac{s i n 6 x - 6 x}{x ^{3}}

联系起来。

已知

lim_{x \to 0} \frac{sin 6 x + x f ( x )}{x ^{3}} = 0

。将其改写（分子加减

6 x

）：

\frac{sin 6 x + x f ( x )}{x ^{3}} = \frac{sin 6 x - 6 x}{x ^{3}} + \frac{6 x + x f ( x )}{x ^{3}} = \frac{sin 6 x - 6 x}{x ^{3}} + \frac{6 + f ( x )}{x ^{2}} .

故

x \to 0 lim \frac{6 + f ( x )}{x ^{2}} = - x \to 0 lim \frac{sin 6 x - 6 x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{6 x - sin 6 x}{x ^{3}}

。

令

t = 6 x

：

x \to 0 lim \frac{6 x - sin 6 x}{x ^{3}} = 6^{3} t \to 0 lim \frac{t - sin t}{t ^{3}} = 216 \cdot \frac{1}{6} = 36.

（其中

lim_{t \to 0} \frac{t - s i n t}{t ^{3}} = \frac{1}{6}

。）应选 C。

考点：极限的计算方法综合、泰勒公式

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