2000 年考研数学（二） 第 10 题

“由特解反求方程”就是“由特征根拼特征方程”。识别根：${\mathrm{e}}^{-x}$ 配 $x{\mathrm{e}}^{-x}$ 即 $-1$ 二重（系数 2 只是常数倍，不影响），${\mathrm{e}}^x$ 即 $1$ 单根。特征多项式 $(\lambda +1{)}^2(\lambda -1)$ 展开得 ${\lambda }^3+{\lambda }^2-\lambda -1$，把 ${\lambda }^k$ 换成 $y^{(k)}$ 就是答案 B。三阶方程恰好三个根，正好用完。

本题考查由特解反求常系数齐次线性微分方程（特征根）。 由特解形式读出特征根，写出特征方程。

特解 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 与 $2x{\mathrm{e}}^{-x}$ 表明 $-1$ 是二重特征根（出现 $x{\mathrm{e}}^{-x}$）；$3{\mathrm{e}}^x$ 表明 $1$ 是单特征根。故特征根为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=1$。

特征方程为 $(\lambda +1{)}^2(\lambda -1)=0$，展开：
$$({\lambda }^2+2\lambda +1)(\lambda -1)={\lambda }^3+{\lambda }^2-\lambda -1=0.$$

对应微分方程为 $y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }-y^{\prime }-y=0$，应选 B。