2000 年考研数学（二） 第 11 题

两步走：先“认表达式”，把 $f(\ln x)$ 里的 $\ln x$ 整体换成自变量得 $f(x)=\frac{\ln (1+{\mathrm{e}}^x)}{{\mathrm{e}}^x}$；再“算积分”。积分的关键是把 ${\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$ 看成 $-\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{-x})$ 做分部，把难缠的 $\ln (1+{\mathrm{e}}^x)$ 求导掉；收尾的 $\int \frac{\mathrm{d}x}{1+{\mathrm{e}}^x}$ 是套路——上下同乘 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 变成对数。

本题考查复合函数还原与不定积分（分部积分）。 先由 $f(\ln x)$ 求出 $f(x)$ 的表达式，再积分。

在 $f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ 中，令 $\ln x=u$，则 $x={\mathrm{e}}^u$，得 $f(u)=\frac{\ln (1+{\mathrm{e}}^u)}{{\mathrm{e}}^u}$，即 $f(x)=\frac{\ln (1+{\mathrm{e}}^x)}{{\mathrm{e}}^x}$。

于是
$$\int f(x)\mathrm{d}x=\int \frac{\ln (1+{\mathrm{e}}^x)}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x=-\int \ln (1+{\mathrm{e}}^x)\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{-x}).$$分部积分：
$$=-{\mathrm{e}}^{-x}\ln (1+{\mathrm{e}}^x)+\int {\mathrm{e}}^{-x}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x=-\frac{\ln (1+{\mathrm{e}}^x)}{{\mathrm{e}}^x}+\int \frac{\mathrm{d}x}{1+{\mathrm{e}}^x}.$$

对剩余积分，分子分母同乘 ${\mathrm{e}}^{-x}$：
$$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+{\mathrm{e}}^x}=\int \frac{{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^{-x}+1}=-\int \frac{\mathrm{d}({\mathrm{e}}^{-x}+1)}{{\mathrm{e}}^{-x}+1}=-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-x})=-\ln (1+{\mathrm{e}}^x)+x.$$（用了 $\ln (1+{\mathrm{e}}^{-x})=\ln \frac{1+{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x}=\ln (1+{\mathrm{e}}^x)-x$。）

合并得
$$\int f(x)\mathrm{d}x=-\frac{\ln (1+{\mathrm{e}}^x)}{{\mathrm{e}}^x}-\ln (1+{\mathrm{e}}^x)+x+C.$$