2000 年考研数学（二） 第 12 题

两步：先求面积函数 $S(t)$，再积分。$S(t)$ 靠几何直观分三段——直线切下小三角（$\frac{1}{2}{t}^2$）、切得只剩右上小三角（$1-\frac{1}{2}(2-t{)}^2$）、完全盖住（$1$）。积分时按同样的分界点分段，关键是每段要接着上一段的“存量”继续积（把前面积分的终值当常数加上），这样得到的 ${\int }_0^{x}S$ 在 $x=1,2$ 处自然连续。

本题考查分段函数的建立与定积分。 先按 $t$ 的范围写出面积 $S(t)$，再分段积分。

直线 $x+y=t$ 扫过正方形，$S(t)$ 为其左下方部分面积：
・当 $0\le t<1$：截出一个直角边为 $t$ 的三角形，$S(t)=\frac{1}{2}{t}^2$；
・当 $1\le t<2$：用整块减去右上角直角边为 $2-t$ 的三角形，$S(t)=1-\frac{1}{2}(2-t{)}^2=-\frac{1}{2}{t}^2+2t-1$；
・当 $t\ge 2$：直线在正方形右上方，$S(t)=1$。

对 ${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t$ 分段积分。当 $0\le x<1$：
$${\int }_0^x\frac{1}{2}{t}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{6}{x}^3.$$

当 $1\le x<2$：
$${\int }_0^1\frac{1}{2}{t}^2\mathrm{d}t+{\int }_1^x(-\frac{1}{2}{t}^2+2t-1)\mathrm{d}t=\frac{1}{6}+[-\frac{1}{6}{t}^3+t^2-t{]}_1^x=-\frac{1}{6}{x}^3+x^2-x+\frac{1}{3}.$$

当 $x\ge 2$：前段积到 $x=2$ 的值为 $-\frac{1}{6}\cdot 8+4-2+\frac{1}{3}=1$，再加 ${\int }_2^{x}1\mathrm{d}t=x-2$，得 $x-1$。综上
$${\int }_0^{x}S(t)\mathrm{d}t=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{6}{x}^3,& 0\le x<1,\\ -\frac{1}{6}{x}^3+x^2-x+\frac{1}{3},& 1\le x<2,\\ x-1,& x\ge 2.\end{array}$$