2000 年考研数学（二） 第 13 题

求某点高阶导数 $f^{(n)}(0)$，逐次求导是死路，正道是泰勒/麦克劳林展开——系数与导数值一一对应：$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$。这里 $\ln (1+x)$ 的展开人人会背，乘上 $x^2$ 只是把每一项的幂次抬高 2、系数不变。锁定 $x^n$ 项来自原展开的 $x^{n-2}$ 项，读出系数 $\frac{(-1{)}^{n-1}}{n-2}$，再乘 $n!$ 即可。

本题考查用麦克劳林展开求高阶导数。 利用 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ 等于麦克劳林展开中 $x^n$ 的系数。

由 $\ln (1+x)={\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{x}^k=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$，乘以 $x^2$ 得
$$f(x)=x^2\ln (1+x)=x^3-\frac{x^4}{2}+\frac{x^5}{3}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n-2}{x}^n+\cdots (n\ge 3).$$

其中 $x^n$ 项来自 $x^2\cdot \frac{(-1{)}^{k-1}}{k}{x}^k$ 且 $k+2=n$，即 $k=n-2$，系数为 $\frac{(-1{)}^{n-3}}{n-2}=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n-2}$。

由 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n-2}$，解得
$$f^{(n)}(0)=\frac{(-1{)}^{n-1}n!}{n-2}(n\ge 3).$$