2000 年考研数学（二） 第 14 题

核心是把“积到任意 $x$”夹在“积到整数个半周期端点”之间。$|\cos t|$ 每 $\pi$ 长积分恰为 $2$，所以 ${\int }_0^{n\pi }=2n$。第 (1) 问就是用 $S$ 单调不减把 $S(x)$ 卡在 $2n$ 与 $2(n+1)$ 间。第 (2) 问把面积界 $2n\sim 2(n+1)$ 和横坐标界 $n\pi \sim (n+1)\pi$ 反向配对做成比值上下界，两端极限都是 $\frac{2}{\pi }$（正是 $|\cos |$ 的平均值），夹逼收口。

本题考查变限积分的估计与夹逼定理求极限。 关键事实：$|\cos t|$ 以 $\pi$ 为周期，每个周期上积分为 $2$。

(1) 因 $|\cos t|\ge 0$，$S(x)={\int }_0^x|\cos t|\mathrm{d}t$ 关于 $x$ 单调不减，故当 $n\pi \le x<(n+1)\pi$ 时
$${\int }_0^{n\pi }|\cos t|\mathrm{d}t\le {\int }_0^x|\cos t|\mathrm{d}t<{\int }_0^{(n+1)\pi }|\cos t|\mathrm{d}t.$$而 $|\cos t|$ 以 $\pi$ 为周期，${\int }_0^{\pi }|\cos t|\mathrm{d}t=2{\int }_0^{\pi /2}\cos t\mathrm{d}t=2$，故 ${\int }_0^{n\pi }|\cos t|\mathrm{d}t=2n$，${\int }_0^{(n+1)\pi }|\cos t|\mathrm{d}t=2(n+1)$。因此 $2n\le S(x)<2(n+1)$。

(2) 当 $n\pi \le x<(n+1)\pi$ 时，结合 (1) 与 $x$ 的范围有
$$\frac{2n}{(n+1)\pi }<\frac{S(x)}{x}<\frac{2(n+1)}{n\pi }.$$

当 $x\to +\infty$ 时 $n\to \infty$，而 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n}{(n+1)\pi }={\lim }_{n\to \infty }\frac{2(n+1)}{n\pi }=\frac{2}{\pi }$，由夹逼定理得 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}=\frac{2}{\pi }$。