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2000 年考研数学（二） 第 15 题
解答题 · 7 分
某湖泊的水量为 ，每年排入湖泊内含污染物 的污水量为 ，流入湖泊内不含 的水量为 ，流出湖泊的水量为 。已知 1999 年底湖中 的含量为 ，超过国家规定指标。为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 污水的浓度不超过 。问至多需经过多少年，湖泊中污染物 的含量才可降至 以内？（注：设湖水中 的浓度是均匀的。）
提示 1
设含量 ，用“微元变化 = 输入 − 输出”建立方程；先确认水量守恒（流入 流出 ），湖水量恒为 。提示 2
输入率 ，输出率 ，得 。提示 3
解一阶线性方程（通解 ），用 定 ，再解 。答案与详解
答案 至多需经过 年（约 年）
思路（为什么这么做）
混合浓度问题的通法：盯住某物质的含量 ，写“（进来的量）（出去的量）”。进来的按限定浓度 乘污水量 ；出去的按湖内当前浓度 乘流出量 。整理即一阶线性方程 。解出 后令其等于 反解时间，得 。先验证进出水量相等、湖体积不变，是这类题不踩坑的前提。
解答
本题考查一阶线性微分方程的建模与求解（浓度混合问题）。 对含量 建立“输入率 − 输出率”的微分方程。
设从 2000 年初起第 年时污染物 的含量为 ，则 。注意流入总量 等于流出量 ，湖水量恒为 。在 内：
・ 的输入（按最大允许浓度 ，污水量 ）为 ；
・ 的输出（湖中浓度 ，流出量 ）为 。
故 ，即
这是一阶线性方程，通解为 。
由 得 ，，故 。令 ：，，。即至多经过 年（约 年）， 的含量降至 以内。
设从 2000 年初起第 年时污染物 的含量为 ，则 。注意流入总量 等于流出量 ，湖水量恒为 。在 内：
・ 的输入（按最大允许浓度 ，污水量 ）为 ；
・ 的输出（湖中浓度 ，流出量 ）为 。
故 ，即
这是一阶线性方程，通解为 。
由 得 ，，故 。令 ：，，。即至多经过 年（约 年）， 的含量降至 以内。