2000 年考研数学（二） 第 16 题

“两个零点”往往是“一个来自罗尔、一个来自反证”。第一个零点：把积分条件 ${\int }_0^{\pi }f=0$ 变成 $F(0)=F(\pi )=0$，罗尔立得 $f(c)=0$。第二个零点最巧：假设只有 $c$，则 $f$ 在 $c$ 两侧异号；此时乘上一个“在 $c$ 两侧也恰好异号”的权函数 $\cos x-\cos c$，使乘积恒正、积分必正；可这个积分又能被两个已知条件线性组合算成 $0$，正负打架产生矛盾。选 $\cos x-\cos c$ 是因为题目给了 $\int f\cos x=0$ 这条线索。

本题考查变限积分、罗尔定理与反证法证明零点。 先由第一个条件找到一个零点，再用反证法结合第二个条件找出第二个零点。

令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $F$ 在 $[0,\pi ]$ 上可导，$F^{\prime }(x)=f(x)$。由条件 $F(0)=0$，$F(\pi )={\int }_0^{\pi }f=0$，由罗尔定理，存在 $c\in (0,\pi )$ 使 $F^{\prime }(c)=0$，即 $f(c)=0$。这样 $f$ 在 $(0,\pi )$ 内至少有一个零点 $c$。

反证： 假设 $f$ 在 $(0,\pi )$ 内除 $c$ 外再无零点。由 ${\int }_0^{\pi }f\mathrm{d}x=0$ 且 $f$ 连续，$f$ 必在 $(0,c)$ 与 $(c,\pi )$ 上异号（否则积分不为零）。不妨设 $x\in (0,c)$ 时 $f(x)>0$，$x\in (c,\pi )$ 时 $f(x)<0$。

考察 ${\int }_0^{\pi }(\cos x-\cos c)f(x)\mathrm{d}x$。因 $\cos$ 在 $[0,\pi ]$ 上严格递减：在 $(0,c)$ 上 $\cos x>\cos c$ 且 $f>0$，被积函数 $>0$；在 $(c,\pi )$ 上 $\cos x<\cos c$ 且 $f<0$，被积函数仍 $>0$。故 ${\int }_0^{\pi }(\cos x-\cos c)f(x)\mathrm{d}x>0$。

但另一方面 ${\int }_0^{\pi }(\cos x-\cos c)f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x-\cos c{\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x=0-0=0$，矛盾。故假设不成立，$f$ 在 $(0,\pi )$ 内除 $c$ 外至少还有一个不同的零点。即存在两个不同的点 ${\xi }_1,{\xi }_2\in (0,\pi )$ 使 $f({\xi }_1)=f({\xi }_2)=0$。