2000 年考研数学（二） 第 17 题

切线要 $f(6)$ 和 $f^{\prime }(6)$，靠周期 5 平移到 $x=1$ 来算。$f(1)$ 由代 $x=0$ 直接得（高阶无穷小在 0 处为 0）。$f^{\prime }(1)$ 藏在极限里：把 $\frac{\text{左端}}{x}$ 通过 $\frac{\sin x}{x}\to 1$ 和换元 $t=\sin x$ 拼成两段导数定义，$1-\sin x$ 那段的分母 $-t$ 恰好提供第二个 $+3f^{\prime }(1)$，合成 $4f^{\prime }(1)=8$。周期性是“搬运工”，导数定义是“发动机”。

本题考查导数定义、复合极限与函数周期性。 先用 $x=0$ 求 $f(1)$，再用导数定义求 $f^{\prime }(1)$，最后用周期性平移到 $x=6$。

在关系式中令 $x=0$：$f(1)-3f(1)=0+\alpha (0)$，而 $\alpha$ 是比 $x$ 高阶的无穷小，$\alpha (0)=0$，故 $-2f(1)=0$，即 $f(1)=0$。

两端除以 $x$ 并令 $x\to 0$：右端 ${\lim }_{x\to 0}\frac{8x+\alpha (x)}{x}=8$。左端
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x},$$令 $t=\sin x\to 0$，并利用 $f(1)=0$：
$$=\underset{t\to 0}{\lim }\left[\frac{f(1+t)-f(1)}{t}+3\cdot \frac{f(1-t)-f(1)}{-t}\right]=f^{\prime }(1)+3f^{\prime }(1)=4f^{\prime }(1).$$

故 $4f^{\prime }(1)=8$，$f^{\prime }(1)=2$。由周期 $5$：$f(6)=f(1+5)=f(1)=0$，$f^{\prime }(6)=f^{\prime }(1)=2$。所以切线为 $y-0=2(x-6)$，即 $y=2x-12$。